总体/样本方差计算器
输入一组数值，一次得到总体方差、样本方差、标准差、集中趋势与离散程度指标，并通过直方图和正态分布参考曲线快速判断数据分布。
仅即时计算，不保存数据
数据集
使用逗号、空格、分号或换行分隔。非数字、NaN 和 Infinity 不会参与计算并会提示修正。
示例数据已就绪，点击“计算统计结果”开始分析。
统计分析
基础统计
数据数量—
最小值—
最大值—
极差—
总和—
集中趋势
平均值—
中位数—
众数—
第一四分位数 Q1由 IQR 表示
第三四分位数 Q3由 IQR 表示
离散程度
总体方差 σ²—
样本方差 s²—
总体标准差 σ—
变异系数 CV—
四分位距 IQR—
频数直方图
按 Sturges 规则自动分组
正态分布参考
基于当前均值与总体标准差
图表用于观察分布形态；样本量较小时，不应仅凭曲线判断数据是否服从正态分布。
工具特点
一次完成完整统计
除总体方差和样本方差外，同步给出均值、中位数、众数、标准差、变异系数与四分位距。
分布可视化
直方图呈现各区间频数，正态参考曲线帮助快速识别集中位置、离散程度和偏离情况。
稳健数值处理
明确校验非有限值、单值样本与超大数值，避免在零标准差或溢出时产生无效统计结果。
总体方差与样本方差公式
方差衡量数据围绕平均值的离散程度。计算前先确定这组数据代表完整总体，还是从更大总体中抽取的样本。
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
当输入数据就是研究对象的全部个体时使用，分母为总体容量 N。
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n - 1)
当输入数据用于估计更大总体时使用，分母采用 n - 1 进行贝塞尔校正。
如何理解结果
- 方差越接近 0，数据越集中；所有数值完全相同时，总体方差与样本方差均为 0。
- 方差的量纲是原单位的平方。需要与原数据同量纲比较时，通常查看标准差更直观。
- 变异系数是标准差与平均值绝对值的比率，适合比较量纲或平均水平不同的数据集。
- 单个数值可以计算总体方差 0，但无法计算样本方差，因为 n - 1 等于 0。
使用步骤
1. 整理数据
将数值用逗号、空格、分号或换行分隔后粘贴到输入框，支持负数、小数和科学计数法。
2. 执行计算
点击“计算统计结果”，系统会校验数据并计算总体指标、样本指标及图表数据。
3. 选择指标
描述完整总体时使用总体方差；通过样本推断总体时使用样本方差，并结合图表观察异常分布。
常见问题
总体方差和样本方差为什么不同？
总体方差除以 N，直接描述完整总体；样本方差除以 n - 1，用贝塞尔校正减小用样本估计总体方差时的偏差。因此，同一组不少于两个数的数据，其样本方差通常略大于总体方差。
只有一个数时为什么没有样本方差？
样本方差的自由度为 n - 1。只有一个观测值时自由度为 0，无法估计总体离散程度，因此结果显示 N/A；这个单值数据集自身的总体方差仍为 0。
所有数据都相同时会得到什么结果？
每个值与平均值的离差都为 0，所以总体方差、样本方差和标准差均为 0。此时正态曲线退化为单点，工具不会生成 Infinity 或 NaN。
为什么平均值为 0 时不显示变异系数？
变异系数需要用标准差除以平均值的绝对值。平均值为 0 时分母为 0，该指标没有定义，因此显示 N/A。此时应直接参考标准差和四分位距。
直方图能证明数据服从正态分布吗？
不能。直方图和参考曲线只提供直观比较，尤其在样本量较小时容易误判。严谨分析还应结合 Q-Q 图以及 Shapiro-Wilk、Anderson-Darling 等正态性检验。